Quiz: Mathématiques Session principale 2009 — 18 domande

1. Quelle méthode permet de résoudre une équation du second degré dans l’ensemble des nombres complexes ?

A. Remplacer le terme quadratique par une constante

B. Calculer le discriminant puis déterminer ses racines complexes

C. Chercher uniquement des racines réelles positives

D. Utiliser exclusivement une primitive de la fonction associée

Answer: (B)

Spiegazione

Le discriminant permet de déterminer les racines d’une équation du second degré, y compris lorsqu’elles sont complexes.

2. Quelle condition caractérise une primitive F d’une fonction f sur un intervalle ?

A. F est constante et vérifie F'(x)=0 sur l’intervalle

B. F est continue et vérifie F(x)=f'(x) sur l’intervalle

C. F est positive et vérifie F(x)=f(x) sur l’intervalle

D. F est dérivable et vérifie F'(x)=f(x) sur l’intervalle

Answer: (D)

Spiegazione

Une primitive F doit être dérivable sur l’intervalle et sa dérivée doit être égale à f en tout point de cet intervalle.

3. Si F est une primitive de f sur [a,b], comment calcule-t-on l’intégrale définie de f entre a et b ?

A. En divisant F(b) par F(a)

B. En calculant F(a)-F(b)

C. En calculant F(b)-F(a)

D. En calculant F(a)+F(b)

Answer: (C)

Spiegazione

Le calcul d’une intégrale définie à partir d’une primitive consiste à soustraire la valeur à la borne inférieure de la valeur à la borne supérieure : F(b)-F(a).

4. Pourquoi le produit vectoriel de \overrightarrow{HB} et \overrightarrow{HC} fournit-il un vecteur normal au plan (HBC) ?

A. Parce qu’il possède automatiquement une norme égale à zéro

B. Parce qu’il appartient nécessairement à la droite (BC)

C. Parce qu’il est parallèle à chacun des deux vecteurs

D. Parce qu’il est perpendiculaire aux deux vecteurs directeurs du plan

Answer: (D)

Spiegazione

Les vecteurs \overrightarrow{HB} et \overrightarrow{HC} dirigent le plan (HBC), et leur produit vectoriel est perpendiculaire à tous deux ; il est donc normal au plan.

5. Quelle est une équation cartésienne du plan (HBC) pour les points donnés ?

A. x-2y-2z+15=0

B. x+2y+2z-15=0

C. 2x-y+2z+15=0

D. x-2y+2z-15=0

Answer: (A)

Spiegazione

Une équation cartésienne du plan (HBC) est x-2y-2z+15=0.

6. Quelle surface est représentée par l’équation x²+y²+z²-4y-2z+1=0 ?

A. Un plan de centre I(0,2,1) et de rayon 2

B. Une sphère de centre I(2,1,0) et de rayon 4

C. Une sphère de centre I(0,-2,-1) et de rayon 1

D. Une sphère de centre I(0,2,1) et de rayon 2

Answer: (D)

Spiegazione

La mise sous forme canonique conduit à une sphère de centre I(0,2,1) et de rayon 2. Le centre et le rayon sont deux informations distinctes.

7. Un plan est situé à une distance de 5 du centre d’une sphère de rayon 3. Quelle relation existe-t-il entre ce plan et la sphère ?

A. Le plan est tangent à la sphère

B. Le plan contient le centre de la sphère

C. Le plan coupe la sphère suivant un cercle

D. Le plan ne coupe pas la sphère

Answer: (D)

Spiegazione

Lorsque la distance entre le centre et le plan est supérieure au rayon, le plan ne rencontre pas la sphère. Ici, 5 est supérieur à 3.

8. Dans le modèle étudié, quelles sont les valeurs des probabilités données ?

A. p(M)=1/3, p(C|M)=0,8 et p(C|M̄)=0,75

B. p(M)=1/3, p(C|M)=0,75 et p(C|M̄)=0,8

C. p(M)=2/3, p(C|M)=0,8 et p(C|M̄)=0,25

D. p(M)=1/2, p(C|M)=0,75 et p(C|M̄)=0,8

Answer: (A)

Spiegazione

Le modèle donne p(M)=1/3, p(C|M)=0,8 et p(C|M̄)=0,75. La condition M̄ correspond à l’événement contraire de M.

9. Comment calcule-t-on p(C∩M) dans le modèle étudié ?

A. p(C|M)/p(M)=12/5

B. p(C|M)+p(M)=7/6

C. p(M)p(C|M)=4/15

D. p(M)-p(C|M)=1/15

Answer: (C)

Spiegazione

La probabilité de l’intersection est le produit de p(M) par p(C|M), soit (1/3)×0,8=4/15. Une intersection représente un événement conjoint, contrairement à une probabilité conditionnelle.

10. Quelle valeur obtient-on pour p(C) en appliquant la formule des probabilités totales ?

A. 8/23

B. 1/2

C. 23/30

D. 4/15

Answer: (C)

Spiegazione

La formule des probabilités totales donne p(C)=p(C∩M)+p(C∩M̄)=23/30.

11. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle p(M|C) dans le modèle étudié ?

A. 1/3

B. 23/30

C. 4/15

D. 8/23

Answer: (D)

Spiegazione

On applique p(M|C)=p(C∩M)/p(C), ce qui donne (4/15)/(23/30)=8/23.

12. Quelle propriété possède la restriction g de f à l’intervalle [0,+∞[ ?

A. Elle est continue et strictement décroissante, et bijective de [0,+∞[ sur ]-∞,g(0)]

B. Elle est discontinue et strictement décroissante, sans réaliser de bijection

C. Elle est continue et strictement croissante, et bijective de [0,+∞[ sur [g(0),+∞[

D. Elle est constante sur [0,+∞[ et son image se réduit à g(0)

Answer: (A)

Spiegazione

La restriction g est continue, strictement décroissante et réalise une bijection de [0,+∞[ sur ]-∞,g(0)].

13. Pour quelles valeurs les courbes de f et de la droite y=x se rencontrent-elles ?

A. Pour x=e

B. Pour x=0

C. Pour x=-1

D. Pour x=1

Answer: (D)

Spiegazione

Les intersections vérifient f(x)-x=0. Or f(x)-x=(1+e^x)(1-x), et comme 1+e^x est strictement positif, on obtient x=1.

14. Si f(x)-x est positif pour une valeur donnée de x, quelle courbe est située au-dessus de l’autre à cette abscisse ?

A. La courbe de f est au-dessus de la droite y=x

B. Les deux courbes ont nécessairement la même ordonnée

C. La position relative dépend uniquement de la valeur de e^x

D. La droite y=x est au-dessus de la courbe de f

Answer: (A)

Spiegazione

Une différence f(x)-x positive signifie que l’ordonnée de f est supérieure à celle de la droite y=x. Le signe négatif donnerait l’ordre inverse.

15. Laquelle des fonctions suivantes est une primitive de f(x)=1+e^x-xe^x sur ℝ ?

A. F(x)=x+(2+x)e^x

B. F(x)=1+e^x-xe^x

C. F(x)=x+(1-x)e^x

D. F(x)=x+(2-x)e^x

Answer: (D)

Spiegazione

La fonction F(x)=x+(2-x)e^x vérifie F'(x)=1+e^x-xe^x=f(x), ce qui caractérise une primitive de f.

16. Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f et l’axe des abscisses sur [0,1] ?

A. e+1,5 unités d’aire

B. 1,5-e unités d’aire

C. e unités d’aire

D. e-1,5 unités d’aire

Answer: (D)

Spiegazione

Cette aire vaut l’intégrale ∫₀¹ f(x) dx, donc F(1)-F(0)=e-1,5 unités d’aire.

17. Que fait la fonction réciproque g^{-1} d’une bijection g aux antécédents et aux images ?

A. Elle associe chaque antécédent à son image opposée

B. Elle conserve l’ordre entre antécédents et images

C. Elle échange les rôles des antécédents et des images

D. Elle échange les abscisses et les ordonnées sans inverser la fonction

Answer: (C)

Spiegazione

La fonction réciproque échange les rôles des antécédents et des images : si g associe x à y, alors g^{-1} associe y à x. La fonction initiale conserve, elle, l’ordre antécédent-image.

18. Par rapport à quelle droite les courbes représentatives d’une fonction bijective et de sa fonction réciproque sont-elles symétriques ?

A. L’axe des abscisses

B. L’axe des ordonnées

C. La droite y=-x

D. La droite y=x

Answer: (D)

Spiegazione

Les courbes d’une fonction et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la droite y=x. La droite y=-x ne correspond pas à cette symétrie.