Quiz: Notions fondamentales des fonctions composées — 8 domande

1. Que représente la composée v ∘ u pour deux fonctions u et v ?

A. La fonction qui applique d’abord v puis u

B. La fonction qui applique d’abord u puis v

C. La fonction qui additionne u et v

D. La fonction qui multiplie u et v

Answer: (B)

Spiegazione

La notation v ∘ u signifie qu’on commence par calculer u(x), puis qu’on applique v au résultat. L’ordre est essentiel et ne correspond pas à une somme ou à un produit.

2. Pourquoi, en général, v ∘ u et u ∘ v ne sont-elles pas égales ?

A. Parce que toute composition de fonctions est commutative

B. Parce que changer l’ordre des fonctions change généralement l’expression obtenue

C. Parce que les deux fonctions doivent avoir la même dérivée

D. Parce que la composition n’est définie que si les fonctions sont identiques

Answer: (B)

Spiegazione

L’ordre d’application des fonctions modifie en général la valeur finale, donc les deux compositions diffèrent. La composition n’est pas commutative en général.

3. Quelle formule donne la dérivée d’une composée v ∘ u ?

A. (v ∘ u)' = (u' ∘ v) × v'

B. (v ∘ u)' = u' × (v' ∘ u)

C. (v ∘ u)' = v' × (u' ∘ v)

D. (v ∘ u)' = u' + v'

Answer: (B)

Spiegazione

La règle de la chaîne s’écrit (v ∘ u)' = u' × (v' ∘ u). Il faut donc dériver la fonction extérieure puis l’évaluer en u(x), tout en multipliant par u'(x).

4. Dans la formule de dérivation d’une composée, que faut-il faire de la dérivée v' ?

A. La remplacer par v(u(x))

B. La dériver une seconde fois

C. L’évaluer en x puis l’additionner à u'(x)

D. L’évaluer en u(x) avant de multiplier par u'(x)

Answer: (D)

Spiegazione

On doit calculer v' au point u(x), ce qui donne (v' ∘ u)(x), puis multiplier par u'(x). Oublier cette évaluation est une erreur fréquente.

5. Quelle est la dérivée de cos(u) lorsque u est une fonction dérivable ?

A. u'/u

B. u' e^u

C. u' cos(u)

D. −u' sin(u)

Answer: (D)

Spiegazione

La dérivée de cos(u) est −u' sin(u) : on dérive cos en −sin et on garde le facteur u'. Les autres propositions correspondent à d’autres fonctions ou sont incorrectes.

6. Quelle est la dérivée de ln(u) lorsque u est strictement positive et dérivable ?

A. 1/u'

B. u'/u

C. u' ln(u)

D. u/u'

Answer: (B)

Spiegazione

Pour ln(u), la dérivée est u'/u, à condition que u soit strictement positive. La présence de u' au numérateur vient de la règle de la chaîne.

7. Si G est une primitive de g, quelle forme a une primitive de g(ax+b) avec a ≠ 0 ?

A. G(ax+b)+a

B. G(ax+b)/a + C

C. a·G(ax+b) + C

D. G(x)+ax+b

Answer: (B)

Spiegazione

On obtient une primitive de g(ax+b) sous la forme G(ax+b)/a + C. Le facteur 1/a compense la dérivée de ax+b, qui vaut a.

8. Quelle primitive de cos(2x+3) est correcte ?

A. 2sin(2x+3) + C

B. sin(2x+3)/2 + C

C. −sin(2x+3)/2 + C

D. cos(2x+3)/2 + C

Answer: (B)

Spiegazione

Comme la dérivée de sin est cos et que la dérivée de 2x+3 vaut 2, une primitive est sin(2x+3)/2 + C. Le facteur 1/2 est indispensable.