Fondements et propriétés des espaces vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Espace vectoriel : axiomes et exemples
2. Espace vectoriel produit et structure
3. Sous-espaces vectoriels et stabilité
4. Sous-algèbres et caractérisation
5. Combinaisons linéaires et systèmes
6. Parties génératrices et propriétés
7. Familles libres et liées
8. Bases : existence et méthode pratique
9. Dimension et rang d’une famille
10. Théorèmes de la base incomplète et extraite
11. Inversibilité des matrices et systèmes
12. Somme directe, supplémentarité et Grassmann

📖 1. Espace vectoriel : axiomes et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Un K-espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire vérifiant les axiomes de groupe commutatif et de compatibilité avec les scalaires.
• Corps de base : Le corps de base d’un espace vectoriel est le corps K dont les éléments servent de scalaires pour multiplier les vecteurs.
• Vecteur nul : Le vecteur nul est l’élément neutre de l’addition dans l’espace vectoriel, noté 0E (ou 0).
• Loi externe : Une loi externe est une opération qui fait agir les scalaires (éléments de K) sur les vecteurs de E, plutôt qu’une loi interne sur E seule.
• Espace vectoriel produit : Un espace vectoriel produit est le produit cartésien de plusieurs K-espaces vectoriels muni d’une addition coordonnée et d’une multiplication scalaire coordonnée.

📝 Points essentiels