Hoja de repaso: Fonctions affines et modélisation

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples de fonctions affines, linéaires et constantes
2. Représentation graphique des fonctions affines, linéaires et constantes
3. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une fonction affine
4. Sens de variation des fonctions affines selon le signe du coefficient directeur
5. Détermination d’une fonction affine à partir de sa droite représentative
6. Modélisation des évolutions en pourcentage par des fonctions linéaires

📖 1. Définition et exemples de fonctions affines, linéaires et constantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : Une propriété est une caractéristique spécifique qui décrit un aspect particulier d'une fonction, comme sa forme algébrique ou son comportement graphique.
• Fonction affine : Une fonction définie par une expression de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels, caractérisée par une représentation graphique en droite.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire est une fonction affine telle que b = 0, donc de la forme f(x) = ax.
• Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité entre x et f(x).
• Pour une durée en minutes : - L’augmentation peut être modélisée par une fonction linéaire définie par : .

💡 À retenir

Une fonction linéaire est une fonction affine telle que b = 0, donc de la forme f(x) = ax.

📖 2. Représentation graphique des fonctions affines, linéaires et constantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite passant par l'origine : Une droite qui traverse le point (0,0) dans un repère cartésien, caractéristique de la représentation graphique d'une fonction linéaire.
• Droite parallèle à l'axe des abscisses : Une droite dont tous les points ont la même ordonnée, ce qui correspond à la représentation graphique d'une fonction constante.
• Représentée par une droite : La courbe obtenue en traçant une fonction affine est une ligne droite dans le plan cartésien.

📝 Points essentiels

• Pour tracer une fonction affine ou linéaire, on peut construire un tableau de valeurs et placer les points correspondants.
• La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
• La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
• La représentation graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

💡 À retenir

Chaque type de fonction affine se traduit graphiquement par une droite aux caractéristiques spécifiques, facilitant leur visualisation.

📖 3. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Négatif, alors on « descend » sur la droite.
• Ordonnée à l’origine : La valeur de la fonction affine en 0, soit f(0), correspondant à l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur a est le nombre qui multiplie x dans f(x) = ax + b.
• Si le coefficient directeur est négatif, la fonction affine est décroissante (la droite descend de gauche à droite).
• On peut déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de son coefficient directeur et de son ordonnée à l’origine.

💡 À retenir

Le coefficient directeur a est le nombre qui multiplie x dans f(x) = ax + b.

📖 4. Sens de variation des fonctions affines selon le signe du coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : valeur de a dans l’expression de la fonction affine, qui détermine la pente de la droite représentée.
• Croissante : qui augmente lorsque la variable x augmente.
• Décroissante : qui diminue lorsque la variable x augmente.
• Fonction constante : fonction affine dont le coefficient directeur est nul, c’est-à-dire f(x) = b, sans variation.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine est croissante si son coefficient directeur a est strictement positif, ce qui signifie que lorsque x augmente, f(x) augmente aussi.
• Inversement, une fonction affine est décroissante si a est strictement négatif, ce qui implique que lorsque x augmente, f(x) diminue.
• Le signe du coefficient directeur a détermine le comportement de la fonction sur tout son domaine : si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante.
• Lorsque a = 0, la fonction est constante, sans variation, car f(x) = b ne dépend pas de x.

💡 À retenir

Le signe du coefficient directeur d’une fonction affine indique directement si la fonction est croissante ou décroissante : positif pour croissante, négatif pour décroissante, nul pour constante.

📖 5. Détermination d’une fonction affine à partir de sa droite représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction représentée par la droite : Une fonction affine dont la représentation graphique est une droite, caractérisée par une expression algébrique de la forme f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

📝 Points essentiels

• L'expression algébrique de la fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, avec a et b déterminés graphiquement.
• Déterminer graphiquement l’expression de la fonction représentée par la droite ( ) et de la fonction représentée par la droite ( ).

💡 À retenir

Savoir extraire précisément l'expression d'une fonction affine en exploitant sa représentation graphique.

📖 6. Modélisation des évolutions en pourcentage par des fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Olivia court 70 min par semaine et consulte son téléphone 50 minutes par jour.
• Évolution en pourcentage : Une variation relative exprimée en pourcentage, modélisée par une multiplication par un facteur constant correspondant à l'augmentation ou la diminution en pourcentage.

📝 Points essentiels

• Les évolutions en pourcentage sont modélisées par des fonctions linéaires de la forme f(x) = kx, où k = 1 + p/100 pour une augmentation et k = 1 - p/100 pour une diminution.
• Exemple : augmenter de 15% correspond à f(t) = 1,15t, diminuer de 20% correspond à g(t) = 0,80t.

💡 À retenir

Les fonctions linéaires offrent un outil simple pour modéliser mathématiquement les évolutions en pourcentage.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des types de fonctions

Type	Représentation graphique	Caractéristique
Fonction affine	Droite dans le plan	Forme générale : f(x) = ax + b
Fonction linéaire	Droite passant par l'origine	b = 0, forme
Fonction constante	Droite parallèle à l'axe des abscisses	f(x) = b

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre fonction affine et fonction linéaire, en oubliant que la fonction linéaire doit passer par l'origine.
2. Interpréter à tort le coefficient directeur comme une simple pente sans considérer son signe.
3. Confondre la représentation graphique d'une fonction constante avec celle d'une fonction affine non constante.
4. Mauvaise lecture du signe du coefficient directeur pour déterminer le sens de variation.
5. Erreur dans la détermination de la fonction à partir de la droite représentative, notamment en inversant a et b.
6. Utiliser une fonction affine pour modéliser une évolution en pourcentage sans ajuster le facteur multiplicatif.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si la fonction est affine, linéaire ou constante.
2. Tracer la représentation graphique d'une fonction affine.
3. Déterminer le coefficient directeur à partir de deux points.
4. Identifier si la fonction est croissante, décroissante ou constante selon le signe de a.
5. Extraire l'expression d'une fonction à partir de sa droite représentative.
6. Modéliser une évolution en pourcentage par une fonction linéaire.
7. Reconnaître une droite passant par l'origine comme une fonction linéaire.
8. Utiliser la formule f(x) = ax + b pour modéliser une situation donnée.
9. Calculer la variation en pourcentage à partir d'une fonction linéaire.